费马大定理

<p>　　本片从证了然费玛最初定理的安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 起头谈起，描写了 Fermat's Last Theorm 的汗青始末，往前回溯来看，1994年正是我在念大学的时辰，那时完全没有一位传授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真实的研究者，自然而然地会被数学吸引，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指引，指点他走向更高深的专业认知，而指引的道路，就在科普的精神上。<br/>　　从费玛最初定理的汗青中能够发明，有许多研究功效，都是研究职员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再测验考试用逻辑验证。<br/>　　费玛最初定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解<br/>　　1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克‧坦普尔‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最初问题 The Last Problem」，故事从这里起头。<br/>　　2. 毕达哥拉斯 Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边的平方=别的双方的平方和<br/>　　x2+y2=z2<br/>　　毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解<br/>　　3. 费玛 Fermat 在研究丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了註记<br/>　　「不成能将一个立方数写成两个立方数之和；大概将一个四次幂写成两个四次幂之和；大概，总的来说，不成能将一个高於2次幂，写成两个一样次幂的和。」<br/>　　「对这个命题我有一个非常美妙的证明，这里空白太小，写不下。」<br/>　　4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出书了载有Fermat註记的「丢番图的算数」<br/>　　5. 在Fermat的其他註记中，隐含了对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解<br/>　　莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证了然 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解<br/>　　3是质数，现在只有证明费玛最初定理对於所有的质数都成立<br/>　　但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」<br/>　　6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证了然 费玛最初定理 "大要" 无解<br/>　　7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延长热尔曼的证明，证了然 n=5 无解<br/>　　8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证了然 n=7 无解<br/>　　9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时传播鼓吹已经证了然 费玛最初定理<br/>　　最初是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都由于「虚数没有独一因子分化性质」而失败<br/>　　库默尔证了然 费玛最初定理的完全证明 是那时数学方式不成能实现的<br/>　　10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明<br/>　　这表示 费玛最初定理的完全证明 尚未被解决<br/>　　沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的人，刻日是到2007年9月13日止<br/>　　11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上23个未解决的问题且相信这是迫切需要解决的重要问题<br/>　　12.1931年 库特‧哥德尔 不成剖断性定理<br/>　　第一不成剖断性定理：假如正义集合论是相容的，那么存在既不行证明又不行否认的定理。<br/>　　=> 完全性是不成能达到的<br/>　　第二不成剖断性定理：不存在能证明正义系统是相容的机关性过程。<br/>　　=> 相容性永远不成能证明<br/>　　13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 成长了能够检验给定问题是否是不成剖断的方式（只适用少数景遇）<br/>　　证明希尔伯特23个问题中，此中一个「连续统假定」问题是不成剖断的，这对於费玛最初定理来说是一大冲击<br/>　　14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反转机<br/>　　起头有人行使暴力解决方式，要对 费玛最初定理 的n值一个一个加以证明。<br/>　　15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推想，找到了一个反例<br/>　　26824404+153656394+1879604=206156734<br/>　　16.1975年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线<br/>　　研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数解，这跟费玛最初定理一样<br/>　　ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2<br/>　　(费玛证明宇宙中指存在一个数26，他是夹在一个平方数与一个立方数中央)<br/>　　由於要直接找出椭圆曲线是很难题的，为了简化问题，数学家採用「时鐘运算」方式<br/>　　在五格时鐘运算中， 4+2=1<br/>　　椭圆方程式 x3-x2=y2+y<br/>　　所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个解<br/>　　对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, .....<br/>　　17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同平常的对称性的 modular form 模型式<br/>　　模型式的要素可从1起头标号到无穷（M1, M2, M3, ...）<br/>　　每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例<br/>　　1955年9月 提出模型式的 M序列 能够对应到椭圆曲线的 E序列，两个差别领域的理论突然被连接在一路<br/>　　安德列‧韦依 採纳这个设法主意，「谷山-志村猜想」<br/>　　18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画，一个统一化猜想的理论，并起头寻觅统一的环链<br/>　　19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出<br/>　　(1) 假定费玛最初定理是错的，则 xn+yn=zn 有整数解，则可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式<br/>　　(2) 弗赖椭圆方程式太怪僻了，乃至於没法被模型式化<br/>　　(3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都能够被模型式化<br/>　　(4) 谷山-志村猜想 是错误的<br/>　　反过来说<br/>　　(1) 假如 谷山-志村猜想 是对的，每一个椭圆方程式都能够被模型式化<br/>　　(2) 每一个椭圆方程式都能够被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式<br/>　　(3) 假如不存在弗赖椭圆方程式，那么xn+yn=zn 没有整数解<br/>　　(4) 费玛最初定理是对的<br/>　　20.1986年 肯‧贝里特 证明 弗赖椭圆方程式没法被模型式化<br/>　　假如有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最初定理也是正确的<br/>　　21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 起头一个小阴谋，他每隔6个月颁发一篇小论文，然后自己独力测验考试证明谷山-志村猜想，策略是行使归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，进展能将E序列以「自然次序」逐一对应到M序列<br/>　　22.1988年 宫冈洋一 颁发行使微分几多学证明谷山-志村猜想，但结果失败<br/>　　23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆解成无穷多项，然后也证了然第一项一定是模型式的第一项，也测验考试行使 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败<br/>　　24.1992年 点窜 科利瓦金-弗莱契 方式，对所有分类后的椭圆方程式都奏效<br/>　　25.1993年 追求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的辅佐，起头对验证证明<br/>　　26.1993年5月 「L-函数和算术」会议，安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 颁发谷山-志村猜想的证明<br/>　　27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发明一个重大缺陷<br/>　　安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又起头隐居，测验考试独力解决缺陷，他不进展在这时辰发布证明，让其他人共享实现证明的甜美果实<br/>　　28.安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 在接近摒弃的边缘，在彼得‧萨纳克的发起下，找到理查德‧泰勒的辅佐<br/>　　29.1994年9月19日 发明结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方式就能够完全解决问题<br/>　　30.「谷山-志村猜想」被证了然，故得证「费玛最初定理」<br/>　　ii<br/>　　费马大定理<br/>　　300多年之前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零整数解”。<br/>　　费马传播鼓吹他发了然这个定理的一个真正奇奥的证明，但因书上空白太小，他写不下他的证明。300多年过去了，不知有几多专业数学家和专业数学爱好者绞尽脑汁诡计证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马大定理。<br/>　　费马(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学家，他首先进修法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只可是是他的专业爱好，只能行使闲暇来研究。虽然年近30才认真注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡儿几近同时创建领会析几多，同时又是17世纪鼓起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费马只对此中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其他的陆续被后来的数学家所证实。这独一未被证明的定理就是上面所说的费马大定理，由于是最初一个未被证明对或错的定理，以是又称为费马最初定理。<br/>　　费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很猛进展，特别是比来几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证了然对小于105的素数费马大定理都成立。1983年一位年青的德国数学家法尔廷斯证了然不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数学家威尔斯公布证了然费马大定理，但随后发了然证明中的一个漏洞并作了批改。虽然威尔斯证明费马大定理还没有获得数学界的一致公认，但大大都数学家认为他证明的思绪是正确的。毫无疑问，这使人们看到了进展。<br/>　　为了追求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前仆后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯传授经过8年的孤军奋战，用13<br/>　　0页长的篇幅证了然费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。<br/>　　费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达<br/>　　哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，<br/>　　斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在<br/>　　研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n<br/>　　大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这<br/>　　个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发明一个美妙的证法，这里的空<br/>　　白太小，写不下。”这就是数学史上着名的费马大定理或称费马最初的定理。费马制作了<br/>　　一个数学史上最深奥的谜。<br/>　　大问题<br/>　　在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题能够叙述得云云简单和清晰，却长久不<br/>　　解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到，<br/>　　文化世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了绝顶。证明费马大定理成为数论中最<br/>　　值得为之斗争的事。<br/>　　安德鲁·怀尔斯1953年诞生在英国剑桥，父亲是一位工程学传授。少年时代的怀尔斯<br/>　　已着迷于数学了。他在后来的回想中写到：“在黉舍里我喜好做题目，我把它们带回家，<br/>　　编写成我自己的新题目。可是我之前找到的最好的题目是在咱们社区的藏书楼里发明的。<br/>　　”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的藏书楼看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答<br/>　　,怀尔斯被吸引住了。<br/>　　这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的汗青，这个定理让一个又<br/>　　一个的数学家望而却步，在长达300多年的时候里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回想<br/>　　起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去云云简单，但汗青上所有的大数学家都未能解<br/>　　决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永<br/>　　远不会摒弃它。我必需解决它。”<br/>　　怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，今落后入剑桥大学Clare<br/>　　学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能<br/>　　带来的问题是：你花费了多年的时候而终极一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate<br/>　　s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我起头跟随他事情。” 科茨说：“我记得一位同事<br/>　　告知我，他有一个非常好的、刚实现数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其<br/>　　为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即便从对研究生的要求来看，他也有很深刻的<br/>　　思惟，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接起头研<br/>　　究费马大定理是不成能的，即便对资历很深的数学家来说，它也太难题了。”科茨的责任<br/>　　是为怀尔斯找到某种至少能使他在此后三年里有爱好去研究的问题。他说：“我认为研究<br/>　　生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有功效的方向。当然，不行包管它必然<br/>　　是一个富有功效的研究方向，可是也许年长的数学家在这个过程当中能做的一件事是行使他<br/>　　的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成就就是他自己的事了。<br/>　　”<br/>　　科茨决议怀尔斯应当研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决议成为怀尔斯职业生涯中的<br/>　　一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的对象。<br/>　　伶仃的兵士<br/>　　1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学<br/>　　的传授。在科茨的指点下，怀尔斯也许比世界上其他人都更晓得椭圆方程，他已经成为一<br/>　　个着名的数论学家，但他清楚地意想到，即便以他汜博的根本知识和数学教养，证明费马<br/>　　大定理的使命也是极为艰巨的。<br/>　　在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非<br/>　　常差此外数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个薄暮，我正在一个朋<br/>　　友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告知我，肯·里贝特已经证了然谷山－志村猜想与费马大<br/>　　定理间的联系。我感应极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命过程的时刻，由于<br/>　　这意味着为了证明费马大定理，我必需做的一切就是证明谷山－志村猜想……我非常清楚<br/>　　我应当回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔斯瞥见了一条实现他童年梦想的道路。<br/>　　20世纪初，有人问庞大的数学家大卫·希尔伯特为何不去测验考试证明费马大定理，他<br/>　　回覆说：“在起头着手之前，我必需用3年的时候作深入的研究，而我没有那么多的时候<br/>　　浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必需全身心肠投入到<br/>　　这个问题中，可是与希尔伯特纷歧样，他愿意冒这个风险。<br/>　　怀尔斯作了一个重大的决议：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意想到与费<br/>　　马大定理有关的任何事情都会引发太多人的爱好。你确实不成能良多年都使自己精力集中<br/>　　，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因观察迟疑者太多而做不到。”怀尔斯摒弃了所有<br/>　　与证明费马大定理无直接关系的事情，任何时辰只有可能他就回抵家里事情，在家里的顶<br/>　　楼书房里他起头了通过谷山－志村猜想来证明费马大定理的战役。<br/>　　这是一场长达7年的持久战，这时代只有他的妃耦知道他在证明费马大定理。<br/>　　欢呼与等待<br/>　　经过7年的尽力，怀尔斯实现了谷山－志村猜想的证明。作为一个结果，他也证了然<br/>　　费马大定理。现在是向世界发布的时辰了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大<br/>　　学的牛顿研究所进行。怀尔斯决议行使这个机遇向一群精采的听众公布他的事情。他选择<br/>　　在牛顿研究所公布的别的一个首要缘由是剑桥是他的故乡，他已经是那里的一位研究生。<br/>　　1993年6月23日，牛顿研究所进行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆<br/>　　听了这一演讲，但他们当中只有四分之一的人完全晓得黑板上的希腊字母和代数式所表达<br/>　　的意义。其他的人来这里是为了见证他们所等候的一个真正具成心义的时刻。演讲者是安<br/>　　德鲁·怀尔斯。怀尔斯回想起演讲最初时刻的情形：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风<br/>　　声，很荣幸他们没有来听演讲。可是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯<br/>　　定事前就预备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上连结着特别肃肃的幽静，当我写完<br/>　　费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声<br/>　　。”<br/>　　《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发了然!”，长远的数学之谜获解》为题报道<br/>　　费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最着名的数学家，也是独一的数<br/>　　学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一路列为“今年度25位最具魅力者”。最有创<br/>　　意的赞美来自一家国际制衣至公司，他们邀请这位文质彬彬的天才作他们新系列男装的模<br/>　　特。<br/>　　当怀尔斯成为媒体报道的中央时，认真核对这个证明的事情也在进行。科学的程序要<br/>　　求任何数学家将完全的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审<br/>　　稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个<br/>　　炎天他焦急地等待审稿人的定见，并祈求能获得他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发<br/>　　现了。<br/>　　我的心灵归于安静<br/>　　由于怀尔斯的论文涉及到大批的数学方式，编辑巴里·梅休尔决议不像通常那样指定<br/>　　2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分红6章，每位审稿人负责此中一章。<br/>　　怀尔斯在此时代间断了他的事情，以处置审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这<br/>　　些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发了然<br/>　　证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可思疑地证明他的方式中的每一步都<br/>　　行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的法子可能就在近旁，可是6个多月过去了<br/>　　，错误仍未更正，怀尔斯面临绝境，他预备认可失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情<br/>　　况，萨克向他暗示难题的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题而且可相信的人。经过<br/>　　长时候的考虑后，怀尔斯决议邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一路事情<br/>　　。<br/>　　泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们预备摒弃了。泰勒<br/>　　鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决议在9月底作最初一次检查。9月19日，一个礼拜一的早<br/>　　晨，怀尔斯发了然问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，难以想象地，我有了一个<br/>　　难以置信的发明。这是我的奇迹中最重要的时刻，我不会再有这样的经历……它的美是如<br/>　　此地难以形容；它又是云云简单和优美。20多分钟的时候我呆望它不敢相信。然后白天我<br/>　　到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”<br/>　　这是少年时代的梦想和8年潜心尽力的终极，怀尔斯终于向世界证了然他的才能。世<br/>　　界不再思疑这一次的证了然。这两篇论文总共有130页，是汗青上核查得最彻底的数学稿<br/>　　件，它们颁发在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版<br/>　　上，标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最<br/>　　终的证明可与割裂原子或发明DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活动的一<br/>　　曲凯歌，同时，不行轻忽的事实是它一会儿就使数学产生了革命性的转变。对我说来，安<br/>　　德鲁功效的美和魅力在于它是走向代数数论的庞大的一步。”<br/>　　声望和荣誉接连不竭。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，199<br/>　　6年，他获得沃尔夫奖，并被选为美国科学院外籍院士。<br/>　　怀尔斯说：“……再没有此外问题能像费马大定理一样对我有一样的意义。我拥有如<br/>　　此少有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束了，<br/>　　我的心已归于安静。”<br/>　　费马大定理只有在相对数学理论的建立今后，才会获得最满意的答案。相对数学理论没有实现之前，谈这个问题是有力地.由于人们对数目和自身的认识，还没有达到必然的高度.<br/>　　iii<br/>　　费马大定理与怀尔斯的因果律-美国公家广播网对怀尔斯的专访<br/>　　358年的难解之谜<br/>　　数学爱好者费马提出的这个问题非常简单，它用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书靠近问题8的页边处写下了这段文字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发明一个美妙的证法，但这里的空白太小，写不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马大定理是此中困扰数学家们时候最长的，以是被称为Fermat’s Last Theorem（费马最初的定理）——公认为有史以来最着名的数学猜想。<br/>　　在畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言激发的长达358年的猎逐布满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段汗青前后涉及到最多产的数学巨匠欧拉、最庞大的数学家高斯、由专业转为职业数学家的柯西、英年早逝的天才伽罗瓦、理论兼试验巨匠库默尔和被誉为“法国汗青上知识最为高深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好者保罗·沃尔夫斯凯尔最初一刻的舍死求生等等，都恍如是溟溟间天主导演的宏大戏剧中的一幕，为最初谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底，把这出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传奇。<br/>　　对怀尔斯而言，证明费马大定理不可是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿时的梦想。“我10岁时在藏书楼找到一本数学书，告知我有这么一个问题，300多年前就已经有人解决了它，但却没有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那今后，人们就不竭地求证。这是一个10岁小孩就能大白的问题，然后汗青上诸多庞大的数学家们却不行解答。因而从那时起，我就试过解决它，这个问题就是费马大定理。”<br/>　　怀尔斯于1970年前后在牛津大学和剑桥大学获得数学学士和数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把费马大定理搁在一边了。这不是由于我忘了它，而是我认识到咱们所把握的用来霸占它的全数手艺已经频频行使了130年。而这些手艺似乎没有触及问题根本。”由于担忧耗费太多时候而一无所得，他“临时放下了”对费马大定理的思索，起头研究椭圆曲线理论——这个看似与证明费马大定理不相关的理论后来却成为他实现梦想的对象。<br/>　　时候回溯至20世纪60年月，普林斯顿数学家朗兰兹提出了一个果敢的猜想：所有首要数学领域之间本来就存在着的统一的链接。假如这个猜想被证实，意味着在某个数学领域中没法解答的任何问题都有可能通过这种链接被转换成另一个领域中相应的问题——能够被一整套新方案解决的问题。而假如在另一个领域内仍然难以找到答案，那么能够把问题再转换到下一个数学领域中……直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领，有一天，数学家们将能够解决已经是最深奥最难对于的问题——“法子是领着这些问题漫游数学王国的各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理冲击的费马大定理证明者们指了然救赎之路——根据不完备定理，费马大定理是不成证明的。<br/>　　怀尔斯后来正是依靠于这个纲领才得以证明费马大定理的：他的证明——差别于任何前人的测验考试——是现代数学诸多分支（椭圆曲线论，模模式理论，伽罗华表示理论等等)综合发扬感化的结果。20世纪50年月由两位日本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗示：椭圆方程与模模式两个判然差此外数学岛屿间隐藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国数学家格哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了以下猜想：假如谷山—志村猜想成立，则费马大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet ）证明。从此，费马大定理不成脱节地与谷山—志村猜想链接在一路：假如有人能证明谷山—志村猜想（即“每一个椭圆方程都能够模模式化”），那么就证了然费马大定理。<br/>　　“人类智力活动的一曲凯歌”<br/>　　怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学家同事们疑心。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回想说：“ 我经常希奇怀尔斯在做些甚么？……他老是静偷偷的，也许他已经‘黔驴之技’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾评价说：“这可能是我生平来见过的独一例子，在云云长的时候里没有泄露任何有关事情的信息。这是空前的。<br/>　　1993年晚春，在经过频频的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于实现了谷山—志村猜想的证明。作为一个结果，他也证了然费马大定理。彼得·萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我木鸡之呆、异常激动、情感失常……我记适当晚我失眠了”。<br/>　　同年6月，怀尔斯决议在剑桥大学的大型系列讲座上公布这一证明。 “讲座气氛很热烈，有很大都学界重要人物参加，当朋友们终于大白已经离证明费马大定理一步之遥时，空气中布满了紧张。” 肯·里比特回想说。巴里·马佐尔（Barry Mazur ）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过云云精彩的讲座，布满了美妙的、不足为奇的新思惟，还有戏剧性的铺垫，布满悬念，直到最初达到高潮。”当怀尔斯在讲座结尾公布他证了然费马大定理时，他成了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发了然!”长远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上独一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一路列为“今年度25位最具魅力者”。<br/>　　与此同时，认真核对这个证明的事情也在进行。遗憾的是，如同这之前的“费马大定理终结者”一样，他的证明是出缺陷的。怀尔斯现在不行不在庞大的压力之下批改错误，其间数度感应绝望。John Conway曾在美国公家广播网（PBS）的访谈中说: “那时咱们其他人（怀尔斯的同事）的行为有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的设法主意和批改错误的进展，但没有人启齿问他。以是，某人会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他却是有微笑，但看起来并不高兴。’”<br/>　　撑到1994年9月时，怀尔斯预备摒弃了。但他姑且邀请的研究同伴泰勒鼓励他再坚持一个月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个礼拜一的凌晨，怀尔斯发了然问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，难以想象地，我发了然它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在那里——它确实还在那里。”<br/>　　怀尔斯的证明为他赢得了最大方的褒扬，此中最具代表性的是他在剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价：“它（证明）是人类智力活动的一曲凯歌”。<br/>　　一场空费时日的猎逐就此结束，从此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被绑在了一路，提到一个就不行不提到别的一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。<br/>　　用时八年的终极证明<br/>　　在怀尔斯不多的接管媒体采访中，美国公家广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访相当精彩有趣，本文节选部分以飨读者。<br/>　　七年伶仃<br/>　　NOVA：通凡人们通过团队来获得事情上的撑持，那么当你碰壁时是怎样解决问题的呢？<br/>　　怀尔斯：当我被卡住时我会沿着湖边散漫步，漫步的益处是使你会处于放松状态，同时你的潜认识却在继续事情。通常遇到困扰时你并不需要书桌，而且我随时把笔纸带上，一旦有好主张我会找个长椅坐下来打草稿……<br/>　　NOVA：这七年必然交叉着自我思疑与胜利……你不成能绝对有把握证明。<br/>　　怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道上，但那并不料味着我必然能达到目标——也许仅仅由于解决难题的方式超出现有的数学，也许我需要的方式下个世纪也不会出现。以是即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误的世纪。<br/>　　NOVA：终极在1993年，你取得了突破。<br/>　　怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子们进来了。我坐在书桌前思索最初的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字引发了我的注意。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时意想到这就是我该用的。我一直地事情，遗忘下楼午饭，到下昼三四点时我确信已经证了然费马大定理，然后下楼。Nada很受惊，以为我这时才回家，我告知她，我解决了费马大定理。<br/>　　最初的批改<br/>　　NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发了然!”，长远的数学之谜获解》，但他们并不知道这个证明中有个错误。<br/>　　怀尔斯：那是个存在于环节推导中的错误，但它云云奥妙乃至于我疏忽了。它很笼统，我没法用简单的语言描写，就算是数学家也需要研习两三个月才能弄懂。<br/>　　NOVA：后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来辅佐事情，并在1994年批改了这个最初的错误。问题是，你的证明和费马的证明是统一个吗？<br/>　　怀尔斯：不成能。这个证明有150页长，用的是20世纪的方式，在费马时代还不存在。<br/>　　NOVA：那就是说费马的首先证明还在某个未被发明的角落？<br/>　　怀尔斯：我不相信他有证明。我觉得他说已经找到解答了是在哄自己。这个难题对专业爱好者云云特别在于它可能被17世纪的数学证明，尽管可能性极为细小。<br/>　　NOVA：以是也许还稀有学家追寻这首先的证明。你该怎样办呢？<br/>　　怀尔斯：对我来说都一样，费马是我童年的热望。我会再试其他问题……证了然它我有一丝伤感，它已经和咱们一路这么久了……人们对我说“你把我的问题夺走了”，我能带给他们其他的对象吗？我感觉到有责任。我进展通过解决这个问题带来的高兴能够激励青年数学家们解决其他许许多多的难题。<br/>　　iv<br/>　　谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几多的对象)和模模式(某种数论顶用到的周期性全纯函数)之间的重要联系。虽然名字是从谷山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor实现.<br/>　　若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，咱们能够简化界说E的方程模p;除了有限个p值，咱们会获得有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑以下序列<br/>　　ap = np − p,<br/>　　这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模模式也会产生一个数列。一个其序列和从模模式获得的序列相同的椭圆曲线叫做模的。 谷山-志村定说:<br/>　　"所有Q上的椭圆曲线是模的"。<br/>　　该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他和志村五郎一路改良了严酷性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年月，它和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是环节的组成部分。猜想由André Weil于1970年月重新提起并获得推行，Weil的名字有一段时候和它联系在一路。尽管有彰着的用处，这个问题的深度在后来的成长之前并未被人们所感觉到。<br/>　　在1980年月当Gerhard Freay发起谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最初定理的时辰，它吸引到了不少注意力。他通过试图表明费尔马大定理的任何范例会致使一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证了然这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证了然谷山-志村定理的一个特殊环境(半稳定椭圆曲线的环境)，这个特殊环境足以证明费尔马大定理。<br/>　　完全的证明最初于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的根本上，一块一块的逐步证明剩下的环境直到全数实现。<br/>　　数论中类似于费尔马最初定理得几个定理能够从谷山-志村定理获得。例如:没有立方能够写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的环境已为欧拉所知)<br/>　　在1996年三月，Wiles和Robert Langlands共享了沃尔夫奖。虽然他们都没有实现给予他们这个造诣的定理的完全模式，他们还是被认为对终极实现的证明有着决议性影响。</p>